HISTOIRE
Le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle st à la fois très intéressant et très utile en géométrie. Ce théorème a été exploré par plusieurs mathématiciens grecs anciens, y compris Thalès de Milet, Pythagore et Euclide, ainsi que par d’autres mathématiciens de cette époque. Il a été étudié et utilisé par de nombreux autres mathématiciens à travers les siècles.
PROPRIÉTÉ
Propriété : “Si un triangle est rectangle alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.”
Cette propriété admet une réciproque : voir “Théorème du triangle rectangle inscrit”
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DEMONSTRATION
La propriété peut se démontrer de la manière suivante au collège :
- Soit PON un triangle rectangle en O tel que I est le milieu de son hypoténuse [PN].
- Si T est le symétrique de O par rapport à I alors I est le milieu du segment [TO].
- On en déduit que PONT est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu I.
- Or, si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Donc PONT est un rectangle.
- Les diagonales [OT] et [PN] sont de même longueur et IO = IN = IT = IP.
- Donc le cercle de centre I et de rayon [IP] passe par les points P, O, N et T.
- Donc le milieu de l’hypoténuse du triangle rectangle PON est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
INTÉRÊTS
Le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle est très utile en géométrie et en trigonométrie. Voici quelques-unes de ses utilisations principales :
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Identification de triangles rectangles : Ce théorème permet d’identifier rapidement et facilement un triangle rectangle parmi d’autres types de triangles. Si un triangle a un cercle circonscrit, et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle.
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Calcul des longueurs : Une fois que nous avons identifié un triangle comme étant rectangle, nous pouvons utiliser le rayon du cercle circonscrit pour calculer les longueurs des côtés du triangle. Par exemple, si nous connaissons la longueur de l’hypoténuse (le diamètre du cercle), nous pouvons utiliser la trigonométrie pour calculer les longueurs des autres côtés du triangle.
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Construction de cercles circonscrits : Ce théorème est également utile dans la construction de cercles circonscrits à des triangles rectangles. En connaissant les points médians des côtés d’un triangle rectangle, nous pouvons construire un cercle qui passe par ces points médians, formant ainsi un cercle circonscrit au triangle rectangle.
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Simplification des preuves géométriques : Le théorème du cercle circonscrit permet de simplifier les preuves géométriques impliquant des triangles rectangles. En utilisant ce théorème, nous pouvons parfois éviter des calculs complexes en exploitant les propriétés géométriques des cercles circonscrits.
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Applications pratiques : Ce théorème trouve des applications dans de nombreux domaines, y compris l’ingénierie, la physique, l’architecture et même la navigation. Par exemple, il est utilisé dans la conception de circuits électriques, dans la construction de ponts et de bâtiments, ainsi que dans la cartographie et la navigation maritime.