HISTOIRE
Le théorème de Varignon est attribué à Pierre Varignon mathématicien français du 17e siècle. Ce théorème énonce une relation intéressante entre les milieux des côtés d’un quadrilatère. On peut notamment le retrouver dans les Éléments de Mathématiques de Pierre Varignon, ouvrage publié à titre posthume en 1731.
PROPRIÉTÉ
Propriété : “Soit ABCD un quadrilatère quelconque, M, N, P et Q les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Alors le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.”
Télécharger la figure dynamique au format GeoGebra.
DEMONSTRATION
La propriété peut se démontrer de la manière suivante au collège :
- En appliquant le théorème de la droite des milieux dans le triangle . On montre que est parallèle à .
- En appliquant le théorème de la droite des milieux dans . On montre que est parallèle à .
- Ainsi, comme et sont parallèles à la même droite (BD) alors est parallèle à .
- En appliquant le théorème de la droite des milieux dans le triangle DAC. On montre que (QP) est parallèle à (AC).
- En appliquant le théorème de la droite des milieux dans BAC. On montre que (MN) est parallèle à (AC).
- Ainsi, comme (MN) et (QP) sont parallèles à la même droite (AC) alors (MN) est parallèle à (QP).
- De ce fait, MNPQ est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, donc c’est un parallélogramme.
INTÉRÊT
Ce théorème est un exemple classique de géométrie qui montre comment des propriétés intéressantes peuvent être découvertes en examinant des configurations géométriques simples. Il est largement utilisé en géométrie pour résoudre des problèmes impliquant des quadrilatères et des parallélogrammes, et il a également des applications dans d’autres domaines des mathématiques et de la physique.