HISTOIRE
L’histoire du théorème de l’angle inscrit dans un cercle peut être retracée jusqu’aux premiers mathématiciens grecs. Nombre d’entre eux durant l’Antiquité ont utilisé ce théorème dans leurs travaux pour résoudre des problèmes de géométrie et pour approfondir la compréhension des propriétés des cercles et des angles. Euclide avait sa version, démontrée que l’on peut retrouvé dans “Les éléments” d’Euclide , Livre III.21 , 300 Av. J.C.
PROPRIÉTÉ
Le théorème de l’angle inscrit est une conséquence du théorème de l’angle au centre.
Propriété : “si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.”
Exemple : Sur la figure ci-contre, l’angle bleu et l’angle rouge interceptent le même arc de cercle. Ainsi, l’angle bleu est de la même mesure que l’angle rouge.
Télécharger la figure dynamique au format GeoGebra.
DEMONSTRATION
La propriété peut se démontrer de la manière suivante au collège :
D’après le théorème de l’angle au centre, puisque les angles inscrits \(\widehat{ASB}\) et \(\widehat{ATB}\) interceptent le même arc que l’angle au centre \(\widehat{AOB}\), on a : 2 × \(\widehat{ASB}\) = \(\widehat{AOB}\) = 2 × \(\widehat{ATB}\).
INTÉRÊT
Aujourd’hui, le théorème de l’angle inscrit dans un cercle reste une pierre angulaire de la géométrie euclidienne et est étudié par les élèves du monde entier. Par exemple, ce théorème est à la base de la notion de cercle de focalisation, ou cercle de Rowland, en spectrométrie. Son utilité dans la résolution de problèmes géométriques en fait l’un des théorèmes les plus fondamentaux de la géométrie, ayant une influence durable dans les mathématiques pures et appliquées.