Euclide d’Alexandrie est un mathématicien qui a vécu d’environ 325 avant J.-C. à 265 avant J.-C. dans la Grèce antique. Contemporain d’Archimède (-287, -212), il a précédé d’autres grands mathématiciens comme Pythagore (-427, -347) et Thalès (-625, -547). À ce jour, aucun texte ou dessin attribué avec certitude à Euclide n’a été trouvé.
Euclide : Le Père de la Géométrie
Souvent surnommé “le père de la géométrie”, il est une figure emblématique des mathématiques, bien que sa vie soit entourée de mystères. Né probablement vers 325 avant J.-C., on sait très peu de choses concrètes sur son existence. La plupart des informations que nous possédons sur lui proviennent de Proclus, un philosophe néoplatonicien, qui a écrit environ 900 ans après Euclide. Selon Proclus, Euclide aurait étudié à l’école des successeurs de Platon à Athènes avant de s’installer à Alexandrie sous l’invitation de Ptolémée I. Cependant, ces informations sont peu fiables en raison de leur éloignement temporel.
Les Éléments : Un Héritage Inégalé
Euclide est surtout connu pour son œuvre monumentale, *Les Éléments*, composée de 13 livres. Cet ouvrage est l’un des textes les plus influents de l’histoire des mathématiques et a servi de manuel de référence pendant plus de deux millénaires. Les Éléments couvrent non seulement la géométrie, des figures géométriques, des polygones inscrits et circonscrits à un cercle, des proportions, mais aussi la théorie des nombres, l’algèbre et la géométrie dans l’espace.
Les quatre premiers livres sont dédiés à la géométrie plane, où Euclide pose les fondations de cette discipline à travers un système axiomatique rigoureux.
Les premières démonstrations d’Euclide, présentes dans Les Éléments, font de cette œuvre une avancée révolutionnaire pour l’époque. Euclide ne se contente pas de compiler des connaissances, mais apporte des définitions rigoureuses et systématise les démonstrations des grands théorèmes hérités de ses prédécesseurs. Il reprend notamment le célèbre théorème de Thalès de Milet (vers -624 à -548) et celui de Pythagore de Samos (vers -569 à -475) pour les démontrer de manière formelle et logique. Cette rigueur mathématique a posé les bases de la géométrie telle que nous la connaissons aujourd’hui, et a influencé la pensée scientifique pendant des siècles.
On trouve notamment dans “Les Éléments” les cinq postulats qui fondent les bases de la géométrie. Le terme “postulat” vient effectivement du latin postulare, qui signifie “demander”. Il s’agit de vérités évidentes que l’on demande d’accepter sans démonstration, afin de poser les fondations nécessaires pour développer un système de démonstration rigoureux.
Voici les cinq postulats énoncés par Euclide :
- Par deux points distincts, il passe une et une seule droite.
- Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une droite.
- Il est possible de tracer un cercle avec un centre et un rayon donnés.
- Tous les angles droits sont égaux entre eux.
- « Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée. »
La Méthode Axiomatique
Euclide est célèbre pour avoir introduit la méthode axiomatique dans les mathématiques. Il commence par établir des axiomes ou postulats, des vérités évidentes qui ne nécessitent pas de démonstration, et construit à partir de là des théorèmes par des raisonnements logiques. Par exemple, l’un de ses axiomes stipule que “deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles”. Ce cadre méthodologique a profondément influencé la manière dont les mathématiques sont étudiées et enseignées.
Le Cinquième Postulat et les Géométries Non Euclidiennes
Parmi les postulats d’Euclide, le cinquième, connu sous le nom de postulat des parallèles, a suscité de nombreux débats. Il affirme que par un point extérieur à une droite, il ne passe qu’une seule droite parallèle à cette droite. Pendant des siècles, les mathématiciens ont tenté de démontrer ce postulat en le déduisant des autres axiomes et postulats, sans succès. Ce n’est qu’au XIXe siècle que Gauss, Riemann et Lobatchevski ont montré qu’il est possible de concevoir des géométries cohérentes en modifiant ce postulat, donnant ainsi naissance aux géométries non euclidiennes. Dans la géométrie hyperbolique, par exemple, par un point extérieur à une droite, passent une infinité de droites parallèles à cette droite.
Les Autres Contributions des Éléments
Les Éléments ne se limitent pas à la géométrie plane. Voici un aperçu des autres livres de cette œuvre colossale :
- Livre V : Théorie des rapports d’Eudoxe et nombres incommensurables.
- Livre VI : Similitudes et figures géométriques.
- Livres VII, VIII et IX : Théorie des nombres, incluant le plus grand commun diviseur et les nombres premiers.
- Livre X : Étude des nombres irrationnels, une découverte attribuée aux Pythagoriciens.
- Livres XI, XII et XIII : Géométrie dans l’espace, comprenant le volume des solides usuels et l’étude des polyèdres réguliers.
“Ce qui est affirmé sans preuve peut-être nié sans preuve.”
Euclide d’Alexandrie
L’Héritage d’Euclide
L’impact d’Euclide sur les mathématiques est incommensurable. Son approche systématique et rigoureuse a établi un standard qui a perduré jusqu’à aujourd’hui. Les Éléments ont été traduits, commentés et enseignés dans le monde entier, influençant des générations de mathématiciens, de scientifiques et de philosophes.
Bien que nous connaissions peu de choses sur sa vie personnelle, l’œuvre d’Euclide continue de vivre et d’inspirer. Il est une figure centrale de l’histoire des mathématiques, et son héritage est un témoignage de l’importance de la rigueur et de la logique dans la quête de la connaissance
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