La classification des nombres est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les différentes catégories de nombres et leurs propriétés. Cette classification permet de comprendre la structure des nombres et leurs relations, ainsi que d’identifier des motifs et des régularités dans leur comportement. Dans cet article, nous explorerons les principales catégories de nombres, en mettant en évidence leurs caractéristiques et leurs applications.
Au fil de l’histoire, les mathématiciens ont progressivement pris conscience qu’il existait une infinité de nombres, de natures très variées. Ils se sont aperçus qu’il était possible de « ranger » en grandes familles les nombres ayant des propriétés identiques.
Cette typologie fut l’œuvre de trois mathématiciens de la deuxième moitié du XIXe siècle et du début du XXe siècle : l’Allemand Richard Dedekind (1831-1916), le Russe Georg Cantor (1845-1918) et l’Italien Giuseppe Peano (1858-1932).
Ensemble des nombres entiers naturels
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. Ils sont représentés par la lettre ℕ. On note : ℕ ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …}. L’origine de la lettre ℕ vient de l’italien “naturale” attribuée à Peano. Si l’on note ℕ*, cela signifie que l’on exclut le zéro.
Cette notion de nombres entiers remonte à l’Antiquité. Les premières sociétés ont développé des systèmes de numération pour compter et mesurer les objets, les récoltes, et d’autres quantités. Les nombres entiers naturels représentent les nombres utilisés pour compter des objets ou des éléments indivisibles, et ils ont joué un rôle fondamental dans le développement des mathématiques.
Les premiers systèmes de numération étaient généralement basés sur des symboles ou des marques pour représenter des quantités entières. Par exemple, les anciens Babyloniens utilisaient un système de numération positionnel basé sur 60, tandis que les anciens Égyptiens utilisaient des hiéroglyphes pour représenter des nombres entiers. En Grèce antique, les mathématiciens tels que Pythagore et Euclide ont étudié les propriétés des nombres entiers et ont établi les bases de l’arithmétique.
Ensemble des nombres entiers relatifs
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. Ils sont représentés par la lettre ℤ. On note : ℤ ={… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}. Ainsi, l’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs. L’origine de la lettre ℤ vient de l’allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind.
La notion de nombres entiers relatifs, ou simplement nombres relatifs, a évolué au fil de l’histoire des mathématiques en réponse aux besoins croissants de modélisation de situations de débit et de crédit, de positions relatives et de directions opposées. Les mathématiciens anciens se sont principalement concentrés sur les nombres entiers naturels, mais au fur et à mesure que les besoins en modélisation se sont développés, la nécessité d’inclure des nombres négatifs est devenue évidente.
Ensemble des nombres décimaux
L’ensemble des nombres décimaux est l’ensemble des nombres peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils sont représentés par la lettre ⅅ. On note ⅅ ={… ; −3.2 ; −2 ; 0 ; 1.75 ; 2 ; 3.6 ; …}. Ainsi, l’ensemble des entiers relatifs est inclus dans l’ensemble des relatifs ce qui signifie qu’un nombre entier est un nombre décimal. L’origine de la lettre D provient de la première lettre du mot “décimal”, qui est dérivé du mot latin “decimus”, signifiant “dixième”.
La notion de nombres entiers décimaux découle de la nécessité de représenter des quantités plus précises que celles fournies par les nombres entiers naturels ou relatifs. Les nombres décimaux ont été développés pour permettre une représentation flexible des quantités fractionnaires, notamment dans les domaines de la finance, de la science et de l’ingénierie. L’utilisation de nombres décimaux remonte à l’Antiquité, mais leur formalisation et leur système de notation moderne ont évolué au fil du temps.
Ensemble des nombres rationnels
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient a/b, avec a un entier et b un entier non nul. Ils sont représentés par la lettre ℚ. On note : ℚ={a/b ∣a,b∈Z,b=0}. Ainsi, l’ensemble des décimaux est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels. L’origine de la lettre ℚ, défini par Peano, est dérivée du mot latin “quotiente”, qui signifie “la fraction”.
La notion de nombres rationnels découle de la nécessité de représenter des quantités fractionnaires de manière formelle. Les nombres rationnels sont une extension des nombres entiers décimaux pour inclure toutes les fractions possibles, positives et négatives. L’histoire des nombres rationnels remonte à l’Antiquité, lorsque les mathématiciens grecs comme Pythagore et Euclide ont commencé à étudier les propriétés des fractions et à les utiliser dans leurs travaux mathématiques.
Ensemble des nombres irrationnels
Il existe des nombres n’appartenant pas à l’ensemble des nombres rationnels c’est-à-dire qui ne peuvent pas s’écrire sous forme d’une fraction. Ils ont une expansion décimale infinie et non périodique, comme par exemple π et √2. On les appelle des nombres irrationnels.
La notion de nombres entiers irrationnels a été une découverte révolutionnaire dans le développement des mathématiques anciennes. L’histoire des nombres irrationnels remonte à l’Antiquité, lorsque les mathématiciens grecs ont commencé à explorer les propriétés des nombres et les rapports entre eux. La découverte des nombres irrationnels a émergé de la recherche sur les longueurs de côtés de figures géométriques et a remis en question la conception traditionnelle des nombres comme fractions ou ratios. Par exemple, √2 est la longueur d’une diagonale d’un carré de longueur 1. Or ce nombre à une partie décimale qui ne s’arrête jamais et qui n’a pas de périodicité. Il semble que plus rien ne soit rationnel. D’ailleurs, Cce nombre était connu des pythagoriciens qui ont nié son existence et tenté de la cacher.
Ensemble des nombres réels
C’est l’ensemble des nombres dont l’écriture, en notation décimale, est une suite décimale illimitée, périodique ou non. Cela comprend donc l’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Ils sont représentés par la lettre ℝ. L’origine de la lettre ℝ reviendrait à Julius Wilhelm Dedekind (1831-1916), un mathématicien allemand, qui l’aurait introduit dans ses ouvrages.
Ensemble des nombres complexes
Les nombres complexes sont des nombres de la forme a+bi, où a et b sont des nombres réels et i est l’unité imaginaire définie comme i² = v− 1. Dans cette expression, a est la partie réelle et b est la partie imaginaire du nombre complexe. Formellement, l’ensemble des nombres complexes est représenté par la lettre ℂ : C={a+bi∣a,b∈R}. L’origine de la lettre C provient du mot latin “complexus”, qui signifie “complexe” ou “tissé ensemble”.
L’idée de nombres complexes a évolué au fil du temps pour répondre aux besoins de résolution d’équations algébriques qui n’avaient pas de solutions dans l’ensemble des nombres réels. Les débuts des nombres complexes remontent au XVIe siècle, lorsque Jérôme Cardan (1501 ; 1576), également connu sous le nom de Gerolamo Cardano, introduit √−15 pour résoudre des équations du troisième degré. Plus tard, en 1572, Rafaele Bombelli publie “Algebra, parte maggiore dell’aritmetica, divisa in tre libri”, où il présente des nombres de la forme a + b√−1, poursuivant ainsi les travaux de Cardan sur les solutions non réelles pour des équations du troisième degré. Bien que les racines carrées d’entiers négatifs soient manipulées à cette époque, elles ne sont pas considérées comme des nombres à part entière. Lorsqu’une solution d’équation inclut une telle racine, elle est qualifiée d’imaginaire. Ce n’est qu’au XVIIIe siècle que la notation i apparaît, grâce à Leonhard Euler, qui développe la théorie des nombres complexes sans les reconnaître encore comme des nombres “réels”. Il les désigne plutôt comme des nombres impossibles ou imaginaires. Par la suite, au XIXe siècle, Gauss et Hamilton posent les bases de l’ensemble des nombres complexes.
Propriété (admise) : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Le symbole ⊂ signifie “contient”.
Il existe d’autres ensembles. Leur utilisation est requise pour les applications plus poussées en dynamique des fluides, en physique nucléaire ou pour les géométries non-euclidiennes. Par exemple :
- ℂ pour les nombres complexes
- ℍ pour les hypercomplexes
- 𝕆 pour les octonions
- ℚp pour le nombre p-adiques
Pour en savoir plus :