Diophante d’Alexandrie, souvent considéré comme le père de l’algèbre, a vécu probablement au IIIe siècle après J.-C., bien que les détails exacts de sa vie restent obscurs. Son œuvre principale, “Arithmetica”, est un traité de 13 livres dont on ne connaissait que 6 volumes jusque récemment. Quatre autres ont été retrouvés en Iran en 1968. Cette collection contient environ 130 problèmes mathématiques sous forme d’équations algébriques, dont une grande partie a été dédiée à la résolution de problèmes diophantiens, c’est-à-dire des équations dont Diophante cherche les solutions positives fractionnaires.
Diophante est réputé pour son approche systématique et rigoureuse dans la résolution de ces équations. Contrairement aux mathématiciens grecs précédents qui se concentraient principalement sur la géométrie, Diophante a introduit des méthodes algébriques pour aborder les problèmes numériques. Il est l’inventeur du Plethos, qui désigne l’inconnue du problème. En effet, Sa méthode reposait sur l’utilisation de symboles pour représenter des inconnues et des coefficients, ouvrant ainsi la voie à une nouvelle branche des mathématiques qui allait devenir essentielle à l’algèbre moderne.
Cependant, Diophante se concentrait souvent sur des exemples numériques concrets, ne fournissant ainsi qu’une seule solution possible à un problème, sans nécessairement proposer de méthode générale de résolution. Ses avancées ont été oubliées pendant longtemps dans le monde occidental, mais heureusement préservées par les savants arabes. Ce n’est qu’à la Renaissance que ces travaux furent redécouverts et traduits en latin, la traduction la plus célèbre étant celle de Bachet de Méziriac, achevée en 1621.
Diophante d’Alexandrie a exploré plusieurs domaines mathématiques fascinants, dont :
- la résolution d’équations quadratiques du type ax² = bx + c.
- il a également travaillé sur la détermination de valeurs pour lesquelles deux expressions linéaires sont toutes deux des carrés. Par exemple, il s’agissait de trouver x tel que 10x + 9 et 5x+4 soient des carrés.
- Diophante a aussi étudié la décomposition d’un nombre en somme de deux carrés. Il semble qu’il savait par expérience que les entiers de la forme 4n+1 peuvent s’écrire comme la somme de deux carrés.
- un autre de ses travaux notables est la méthode pour partager un carré en deux carrés. Par exemple, il explique comment diviser 16=4² en une somme de deux carrés : (16/5)² + (12/5)². C’est en marge de ce problème que Pierre de Fermat inscrivit dans son exemplaire des “Arithmétiques” sa fameuse note : “Il est impossible de partager un cube en deux cubes, un bicarré en deux bicarrés, et plus généralement une puissance quelconque sauf le carré, en deux puissances de même exposant”. Ce qui allait devenir le célèbre dernier théorème de Fermat, qui ne fut prouvé qu’en 1995 par Andrew Wiles.
Héritage
Diophante a laissé son nom à une branche de l’algèbre connue sous le nom d’équations diophantiennes. Ces équations, caractérisées par plusieurs inconnues et des coefficients entiers ou rationnels, conduisent souvent à un grand nombre de solutions entières ou rationnelles. Aujourd’hui, la résolution des équations diophantiennes utilise fréquemment des ordinateurs. Voici quelques exemples notables :
- La recherche de deux nombres entiers dont la somme des carrés est un carré, connus sous le nom de triplets pythagoriciens.
- Le théorème de Bézout.
- Le théorème de Fermat.
Ces exemples illustrent la richesse et la complexité des équations diophantiennes, ainsi que leur importance historique et contemporaine en mathématiques.
En arithmétique, Diophante a également laissé un théorème élégant : « Tout nombre premier de la forme peut s’écrire comme la somme de deux carrés. » Ce résultat est fondamental dans la théorie des nombres et montre la profondeur des observations de Diophante sur les propriétés des nombres.
Malheureusement, peu de détails sur sa vie personnelle ont survécu, et même son lieu de naissance, Alexandrie, est sujet à conjecture. Son travail a été préservé et influencé par des mathématiciens arabes comme Al-Khwarizmi au IXe siècle, puis traduit en latin et étudié en Europe à partir du XVIe siècle. L’impact de Diophante dépasse largement son époque, car ses contributions ont jeté les bases d’une méthodologie algébrique qui est encore enseignée et utilisée aujourd’hui dans le domaine des mathématiques pures et appliquées.
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