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🔢  Aux origines des nombres en Mésopotamie 

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L’histoire des nombres est étroitement liée à celle des grandes civilisations qui ont façonné l’écriture, l’administration, le commerce et l’astronomie. Parmi elles, la civilisation mésopotamienne — regroupant les Sumériens, les Akkadiens, les Babyloniens et les Assyriens — occupe une place essentielle. C’est en Mésopotamie que l’on trouve certaines des plus anciennes notations numériques écrites, des tablettes scolaires, des tables de multiplication, ainsi qu’un système de numération en base 60, dont l’influence se fait encore sentir aujourd’hui. Les Mésopotamiens introduisirent également un signe pour marquer l’absence de valeur, préfigurant le zéro, et mirent au point des tables et des fractions témoignant d’une maîtrise avancée des nombres.

Repères historiques et géographiques

La Mésopotamie, située approximativement à l’emplacement de l’Irak actuel et d’une partie de la Syrie, était irriguée par le Tigre (885 km) et l’Euphrate (1 300 km). Cette région de vallées et de plaines était naturellement encadrée : au nord par les montagnes d’Arménie, à l’est par le massif du Zagros, et à l’ouest par le désert d’Arabie et la steppe de Syrie. Le climat n’était pas pluvieux, mais les anciens Mésopotamiens surent tirer parti de la fertilité du sol grâce à un réseau complexe de canaux d’irrigation. Ces nécessités agricoles et défensives les incitèrent à construire très tôt des infrastructures et des sites fortifiés.

Au IVᵉ millénaire av. J.-C., les Sumériens, installés au sud, fondent des cités majeures comme Uruk, Nippur et Ur. C’est également à cette époque que l’écriture cunéiforme apparaît sur des tablettes d’argile. Cette écriture perdurera jusqu’à l’absorption de la Mésopotamie par les empires assyrien et babylonien. Dès le début du IIIᵉ millénaire av. J.-C., le cunéiforme se généralise dans la Basse Mésopotamie.

Vers 1900 av. J.-C., un nouvel empire émerge : celui des Babyloniens, marqué par le règne d’Hammourabi (-1792 à -1750). Babylone devient alors un centre culturel, religieux, artistique et commercial majeur entre 2 000 et 550 av. J.-C. Ses ruines se trouvent aujourd’hui à 160 km au sud-est de Bagdad. Les Jardins suspendus de Babylone, construits au VIᵉ siècle av. J.-C. par le roi perse Nabuchodonosor, figuraient parmi les sept merveilles du monde, bien qu’ils aient disparu depuis.

Carte aproximative de la Mésopotamie
Tablette cunéiforme : compte administratif avec entrées concernant le malt et les gruaux d'orge (MET, 1988.433.3)

La numération babylonienne

Les premiers outils de comptage

Depuis l’Anatolie jusqu’à la vallée de l’Indus, et de la mer Caspienne au Soudan, les premières sociétés utilisaient des petits jetons en terre cuite de formes et de tailles différentes pour représenter des quantités. Les plus anciens remontent au IXᵉ–VIIᵉ millénaire avant J.-C. En 3500 avant J.-C., en Mésopotamie, chez les Sumériens et les Élamites, ces jetons étaient enfermés dans une boule creuse en argile, permettant de vérifier la quantité exacte dans les transactions commerciales. On les appellera plus tard calculi.

Ce système, basé sur le principe additif, utilise une base 60 (sexagésimale).

  • Petit cône = 1
  • Petite bille = 10
  • Grand cône = 60
  • Grand cône percé = 600
  • Grosse bille = 3600
  • Grosse bille percée = 36 000

L’astronomie a conservé ce système que nous retrouvons aujourd’hui dans les unités de temps (1 h = 60 min = 3600 s) et dans les mesures d’angles (un tour complet = 360°). Par exemple, le nombre 75 en base 10 s’écrit 1 ; 15* en base 60, comme dans 75 minutes = 1 h 15 min.

 

*Attention : on écrit 1 ; 15 avec un point-virgule, et non avec une virgule, pour indiquer 1 unité de 60 plus 15 unités simples. Autre écriture possible : \(75_{10} = 1 ; 15_{60}\).

L’écriture et les premières représentations numériques

Pour manipuler ces calculi plus facilement, la boule d’argile fut aplanie et transformée en tablette, sur laquelle étaient gravés des pictogrammes représentant la nature des marchandises : épis de blé, animaux, etc. Durant la seconde moitié du IVᵉ millénaire av. J.-C., l’écriture naît à Sumer.

Elle évolue ensuite vers le cunéiforme, qui simplifie les pictogrammes, et se répand chez les Babyloniens vers 2500 av. J.-C.

Vers le IIᵉ millénaire avant J.-C., les Babyloniens développent, à partir de l’écriture cunéiforme, la première numération véritablement positionnelle de l’histoire. Fondée sur la base sexagésimale, elle combine un principe additif à l’intérieur de chaque groupe et un principe positionnel qui détermine la valeur des symboles selon leur place.

 

Les symboles utilisés sont :
– Clou vertical : pour les unités (répété autant de fois que nécessaire)
– Chevron : pour 10

 

Ainsi, selon sa position, un symbole peut représenter une unité, une soixantaine ou une soixantaine de soixantaines. Pour les nombres de 11 à 59, on combine des répétitions de clous et de chevrons (principe additif), tandis que le 60 est représenté par le clou en position supérieure (principe positionnel). Voici quelques exemples :

Plimpton 322 - Tablette babylonienne listant les triplets pythagoriciens - commons.wikimedia.org
Tablette cunéiforme avec table de multiplication
Tablette représentant une approximation de la racine carrée de 2 - commons.wikimedia.org
Tablette cunéiforme d'exercice pour l'étudiant - commons.wikimedia.org
Correspondances entre nombres décimaux et écriture babylonienne
Décimal Babylonien Décimal Babylonien Décimal Babylonien Décimal Babylonien
1𒁹2𒁹𒁹3𒁹𒁹𒁹4𒁹𒁹𒁹𒁹
5𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹6𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹7𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹8𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹
9𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹10𒌋11𒌋𒁹12𒌋𒁹𒁹
13𒌋𒁹𒁹𒁹14𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹15𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹16𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹
17𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹18𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹19𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹20𒌋𒌋
21𒌋𒌋𒁹22𒌋𒌋𒁹𒁹23𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹24𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹
25𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹26𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹27𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹28𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹
29𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹30𒌋𒌋𒌋31𒌋𒌋𒌋𒁹32𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹
33𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹34𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹35𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹36𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹
37𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹38𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹39𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹40𒌋𒌋𒌋𒌋
41𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹42𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹43𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹44𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹
45𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹46𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹47𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹48𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹
49𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹50𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋51𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹52𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹
53𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹54𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹55𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹56𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹
57𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹58𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹59𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹
Les centaines (base 60 : 140 = 1×60 + 40)
DécimalBabylonien DécimalBabylonien DécimalBabylonien DécimalBabylonien
100𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋 200𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋 300𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 〈vide〉 400𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋
500𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋 600𒌋 〈vide〉 700𒌋𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋 800𒌋𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋
900𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 〈vide〉
Les milliers (multiples de 60²)
DécimalBabylonien DécimalBabylonien DécimalBabylonien
1000𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋 2000𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋 3000𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋 〈vide〉
4000𒁹 𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋 5000𒁹 𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋 6000𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋 〈vide〉
7000𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋 8000𒁹𒁹 𒌋𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋 9000𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋 〈vide〉
10000𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹𒁹 𒌋𒌋𒌋𒌋
10000𒁹 𒁹𒁹𒌋𒁹𒁹𒁹𒁹

Les mathématiques babyloniennes

Les Babyloniens furent les premiers à mettre au point des techniques de calcul plus élaborées. Ils utilisaient des mesures corporelles (palme, coudée, pied) et résolvaient des problèmes pratiques liés à :

  • Partages d’impôts et d’héritages
  • Échanges commerciaux
  • Construction de canaux et greniers

Ces besoins économiques et sociaux stimulèrent le développement des mathématiques.

Des fouilles à Nippour au XIXᵉ siècle ont révélé 300 tablettes d’argile traitant de mathématiques, permettant de connaître leurs compétences. Les Babyloniens connaissaient :

  • Les tables de carrés et de cubes
  • Les inverses et racines carrées
  • Le calcul d’aires et de volumes
  • Des équations et systèmes d’équations
  • Une valeur approchée de π (par exemple 3 + 1/8 = 3,125 pour le disque, retrouvée à Suse)

Les astronomes, souvent des prêtres, furent les inventeurs de la géométrie :

  • Les étoiles inspirèrent l’idée du point
  • Les configurations stellaires rappelèrent les rectangles et triangles
  • La Lune inspira la notion de disque, préfigurant peut-être la roue

Enfin, au fil du temps, les scribes babyloniens introduisirent un signe de séparation des symboles pour indiquer l’absence de valeur, constituant la première trace du zéro au IIIᵉ siècle av. J.-C.

Le système sexagésimal : pourquoi la base 60 ?

Le choix d’un système de base 60 (soixante) au lieu de base 10 (dix) peut paraître exotique pour nous, mais plusieurs facteurs expliquent pourquoi les Mésopotamiens l’ont adopté et conservé.

  • Le nombre 60 est un « super-nombre » très divisible : il possède de nombreux diviseurs comme 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Cela offrait une flexibilité importante pour les fractions, mesures et angles.

  • Le système fut hérité des Sumeriens : le passage à la base 60 semble s’être produit dans la période proto-cunéiforme ou néo-sumérienne.

  • Le fait que les Mésopotamiens aient mesuré les temps, les angles, les surfaces, les volumes, et que de nombreuses fractions soient impliquées, rendait une base « large » intéressante. Par exemple, nous héritons encore aujourd’hui de cette tradition dans les 60 minutes d’une heure ou les 360 degrés d’un cercle.

  • Certains chercheurs suggèrent que ces systèmes numériques pourraient être liés à des usages de comptage — par exemple, en utilisant les 12 phalanges d’une main ou des combinaisons de doigts sur les deux mains — ainsi qu’à des considérations astronomiques. Cependant, aucune explication unique n’a encore été universellement acceptée.

🔢 Convertisseur — écriture babylonienne ↔ nombre






Pour résumer :

≈ 3500 av. J.-C.

Premiers systèmes de comptage sur des jetons d’argile.

≈ 3000-2500 av. J.-C.

Début de l’usage de tablettes d’argile pour enregistrer les comptes.

≈ 2500 – 2000 av. J.-C.

Premiers signes de système sexagésimal (base 60)

≈ 2000 – 1500 av. J.-C

BC 7289 : approximation très précise de √2 en notation sexagésimale.

🔍 Pour en savoir plus :